"A condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que não a contém é que ela seja paralela a uma reta desse plano."
Podemos concluir que:
a) A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos. b) A condição ser necessária significa que: toda reta paralela a uma reta de um plano é paralela a este plano. c) A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta conterá todas as retas paralelas à reta dada. d) A condição ser necessária significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos. e) Nenhuma das anteriores.
(E)
(MACKENZIE - 1973) Marque uma das alternativas:
a) se existir um(a) e um(a) só b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as) c) se existir um número finito porém maior que 2 d) se existirem infinitos(as) e) se não existir nenhum(a) de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:
1º reta perpendicular a duas retas reversas. 2º plano paralelo a duas retas reversas. 3º dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra. 4º retas e reversas, plano por e equidistante dos pontos e .
1a - 2d - 3e - 4b
(ITA - 1977) Seja p um plano. Sejam A , B , C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p . Então:
a) se C dividir o segmento em partes iguais a , então o segmento é perpendicular a p b) se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então o segmento é perpendicular a p . c) se ABC for um triângulo equilátero e D for equidistante de A , B e C , então implica que o segmento é perpendicular a p . d) se ABC for um triângulo equilátero e o segmento for perpendicular a p , então D é equidistante de A , B e C . e) nenhuma das respostas anteriores.
(C)
(MACKENZIE - 1979) Considere as afirmações:
I - Se uma reta é paralela a dois planos, então estes planos são paralelos. II - Se dois planos são paralelos, toda reta de um é paralela a uma reta do outro. III - Se duas retas são reversas, então existe uma única perpendicular comum a elas. Então: a) todas são verdadeiras. b) somente a II é verdadeira. c) somente a III é verdadeira d) somente a I é verdadeira. e) somente II e III são verdadeiras.
(E)
(MACKENZIE - 1979) O triângulo retângulo em e o paralelogramo situam-se em planos distintos. Então, a afirmação "MN e QR são segmentos ortogonais":
a) é sempre verdadeira. b) não pode ser analisada por falta de dados. c) é verdadeira somente se . d) nunca é verdadeira. e) é verdadeira somente se .
(A)
(ITA - 1982) A figura hachurada abaixo é a seção transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x . A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60° . O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x . A área da superfície total do sólido mede:
a) b) c) d) e)
(E)
(PUC-SP - 1980) Se r e s são retas reversas, então pode-se garantir que:
a) todo plano que contém r também contém s . b) existe um plano que contém r e é perpendicular a s . c) existe um único plano que contém r e s . d) existe um plano que contém r e é paralelo a s . e) toda reta que encontra r encontra s .
(D)
(MACKENZIE - 1980) Considerando as afirmações abaixo, assinale a alternativa correta:
I - Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. II - Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apóia em ambas. III - Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então é perpendicular à interseção desses planos. a) Somente a afirmação I é verdadeira. b) Somente a afirmação II é verdadeira. c) São verdadeiras as afirmações II e III, apenas. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Nenhuma afirmação é verdadeira.
(C)
(FUVEST - 1980) São dados cinco pontos não coplanares , , , , . Sabe-se que é um retângulo, e . Pode concluir que são perpendiculares as retas:
a) e b) e c) e d) e e) e
(D)
(PUC-SP - 1981) Dois planos e se cortam na reta e são perpendiculares a um plano . Então:
a) e são perpendiculares. b) é perpendicular a . c) é paralela a . d) todo plano perpendicular a encontra . e) existe uma reta paralela a e a .
(B)
(PUC-SP - 1980) Assinale a afirmação verdadeira:
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si. b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si. c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si. d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si. e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.
(C)
(ITA - 1973) Sejaa projeção do diâmetro de um círculo de raio sobre a reta tangente por um ponto deste círculo. Seja a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio ao redor da reta tangente e área do círculo dado. Qual é o valor de para que a medida do segmento seja igual à metade do raio ?
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(B)
(UFBA - 1981) Sendo e dois planos e e duas retas, tais que , e , então e podem ser:
a) paralelas a . b) perpendiculares a . c) coincidentes. d) oblíquas. e) ortogonais.
(E)
(FUVEST - 1982) Sejam r e s duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:
a) existe uma reta perpendicular a r e a s . b) r e s determinam um único plano. c) existe um plano que contém s e não intercepta r. d) existe uma reta que é paralela a r e a s. e) existe um plano que contém r e um único ponto de s .
(A)
(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo tal que está contido num plano , e os ângulos de vértices e medem, respectivamente, 70° e 60°. Se // , , , contém a bissetriz do ângulo e , então a medida do ângulo , assinalado é:
a) 165°b) 155°c) 145°d) 130°e) 120°
(B)
(UBERLÂNDIA - 1982) Das alternativas abaixo:
I -Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si. II -Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um forma um ângulo reto com qualquer reta do outro. III -Distância entre duas retas é a distância entre um ponto qualquer de uma e a outra. IV - Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então por qualquer ponto de uma passa reta que se apoia nas outras duas. Pode-se afirmar que:
a) todas as alternativas são verdadeiras. b) todas as alternativas são falsas. c) apenas a alternativa I é falsa. d) apenas a alternativa I é verdadeira. e) apenas as alternativas I, II e III são verdadeiras.
(B)
(PUC-SP - 1982) Um triângulo isósceles , com e , tem o lado contido em um plano e o vértice a uma distância 18 de . A projeção ortogonal do triângulo sobre o plano é um triângulo:
a) retângulo. b) obtusângulo. c) equilátero. d) isósceles, mas não equilátero. e) semelhante ao triângulo .
(C)
(PUC-SP - 1979) A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre:
a) 3 retos e 6 retos. b) 1 reto e 2 retos. c) 2 retos e 6 retos. d) 2 retos e 5 retos. e) 3 retos e 5 retos.
(C)
(PUC-SP - 1980) Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?
a) hexaedro b) octaedro c) dodecaedro d) icosaedro e) tridecaedro
(D)
(PUC-SP - 1981) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?
a) 5 b) 10c) 15 d) 18e) 24
O prisma é chamado pentagonal quando suas bases superior e inferior são pentágonos.
O prisma pentagonal não é necessariamente reto. Significa que num prisma pentagonal as arestas laterais podem ser perpendiculares aos planos das bases (prisma pentagonal reto) ou podem ser oblíquas (prisma pentagonal oblíquo). Nem o pentágono das bases é necessariamente regular. Significa que o polígono da base tem 5 lados (pentágono), mas os lados e ângulos do polígono podem ser diferentes entre si. As bases de um mesmo prisma são sempre congruentes. Resolução:
As diagonais internas de um prisma são segmentos de reta que ligam os vértices da base inferior aos vértices da base superior, excluídas as diagonais das faces e as arestas. Modo intuitivo:A observação da figura ao lado é importante para desenvolver a capacidade intuitiva de cálculo com polígonos. Da base inferior do prisma pentagonal são traçados cinco segmentos, cada um com uma extremidade no ponto V , vértice da base, e outra extremidade nos vértices da base superior, que estão numerados 1, 2, 3, 4 e 5. 1. O segmento V-1 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior. 2. O segmento V-2 traçado em vermelho, é uma diagonal do prisma pois liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior. 3. O segmento V-3 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. 4. O segmento V-4, traçado em verde, liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma aresta lateral está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. 5. O segmento V-5 liga um vértice da base inferior a um vértice da base superior mas por ser uma diagonal da face está excluído e NÃO É UMA DIAGONAL DO PRISMA. Concluímos das afirmações acima e da análise cuidadosa da figura, que de cada vértice de uma base partem apenas dois segmentos que são diagonais do sólido. Como a base tem 5 vértices, e são 10 as diagonais do prisma pentagonal. Resposta:
Alternativa B
(UFRS - 1981) Uma caixa tem 1 m de comprimento, 2 m de largura e 3 m de altura. Uma segunda caixa de mesmo volume tem comprimento metros maior do que o da anterior, largura metros maior do que a da anterior e altura metros menor que a da anterior. O valor de é:
a) b) c) d) e)
(E)
(UCMG - 1981) O volume, em litros, de um cubo de 5 cm de aresta é de:
a) 0,0125 b) 0,1250 c) 1,2500 d) 12,500 e) 125,00
(B)
(UFPR - 1980) Calculando a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo equilátero de 6 unidades de comprimento de lado, sabendo que o ponto equidista 4 unidades dos vértices do triângulo, obtém-se:
a) 6 unidades. b) 5 unidades. c) 4 unidades. d) 3 unidades. e) 2 unidades.
(E)
(PUC-RS - 1980) Se "" é a medida da aresta de um tetraedro regular, então sua altura mede:
a) b) c) d) e)
(D)
(UCMG - 1981) O volume, em cm³, da figura formada por um cone e um cilindro circular reto, é:
a) b) c) d) e)
(C)
(UCMG - 1981) O raio da base de um cone de revolução é 10 cm, e a altura 30 cm. Se o raio aumentar 1 cm e a altura diminuir 3 cm, a razão entre o segundo volume e o primeiro é de:
a) 0,333b) 1,089c) 1,321 d) 2,021e) 3,000
(B)
(CESESP - 1986) Pretende-se contruir um tanque com a forma e dimensões da figura ao lado. Sabendo-se que o hemisfério, o cilindro circular reto e o cone circular reto, que constituem o referido tanque, têm igual volume, assinale, dentre as alternativas abaixo, a única que corresponde às relaçoes existentes entre as dimensões indicadas.
a) R = h = H b) 3R = h = 3H c) 4R = h = 3H d) 2R = h = 3H e) h = 3R = H
(D)
(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de , então, a área lateral da pirâmide mede, em ,
a) b) c) d) e)
Considerações: Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R. 2. a altura de cada triângulo equilátero em função do seu lado é (veja esse exercício). 3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2 e a área do hexágono é
Resolução: Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área
1. calcular :cm 2. calcular a altura da pirâmide :A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é , então a altura do cilindro é .O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale . 3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ():Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento , que define o triângulo retângulo reto no ângulo .Pelo Teorema de Pitágoras: 4. Calcular a área lateral da pirâmide:A área de uma face da pirâmide é A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto Área lateral = que corresponde à
alternativa(A)
(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a
a) b) c) d) e)
(E)
Para um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm , 4 cm e 5 cm , calcular:
a) A área total b) A medida da diagonal
a) Resolução:
área total = Resposta:
b)Resolução
diagonal do paralelepípedo = Resposta:
Determinar o volume de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Resolução: volume = Resposta:
O volume é
(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de cm de aresta, cuja base está sobre um plano . O plano é paralelo à reta que contém a aresta . Forma com um ângulo de e "corta" do cubo um prisma de base triangular cuja base é o triângulo . O segmento tem 5 cm de comprimento. Determinar o volume do prisma .
V = 75 cm³
Determinar a área lateral do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm .
A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.
Resolução: Resposta:
Determinar a área total eo volume do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm.
A área total da um prisma é igual à soma da área de todas as faces laterais com a área da base superior e a área da base inferior.
Resolução:
Área total =
O volume de um prisma é a sua altura multiplicada pela área da base. Lembremos que, sendo um prisma, a base inferior e superior são congruentes.
Volume = Resposta:
(ITA - 2012) As retas e são concorrentes no ponto , exterior a um círculo . A reta tangencia no ponto e a reta intercepta nos ponto e diametralmente opostos. A medida do arco é e mede cm. Determine a área do setor menor de definido pelo arco .
Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:
1.
o triângulo OAP é reto em A pois AO (o raio) é perpendicular a (a reta tangente).
Então e sabemos que a tangente de é .
2.
o arco , suplementar de , mede .
Então a superfície
Resposta:
(ITA - 1990) Seja V o vértice de uma piramide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os angulos das faces laterais, no vértice V, são todos iguais a 45 graus. Deste modo, o volume da piramide será igual a:
a) b) c) d) e) n.d.a
(A)
(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:
a) b) c) d) e) n.d.a
(C)
(FUVEST - 2017) O paralelepípedo retorretângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2. O seno do ângulo HÂF é igual a a) b) c) d) e)
(E)
(FUVEST - 1977) A figura é a planificação de um poliedro convexo (A = B = C = D ; E = F). Calcule o seu volume.
(FUVEST - 1980) A aresta do cubo abaixo mede 2 e BP = 3. Calcule PC e PD.
A medida de PC é e a medida de PD é
(FUVEST - 2009) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:
Nessas condições, determine: a) A medida de . b) A área do trapézio . c) O volume da pirâmide .
a) unidades de comprimento b) unidades de área c) unidades de volume